Введение

Цель проекта

Разработать и проанализировать модель на основе решеточного уравнения Больцмана для описания течений газа.

Цель и задачи четвертого этапа проекта

Главная цель: провести комплексный анализ полученных результатов моделирования, оценить качество реализации модели HPP, обсудить итоги работы в команде и представить проект на защите.

Задачи этапа:

1. Анализировать результаты тестирования модели
2. Обсудить в команде итоги работы
3. Оценить качество реализации проекта, в частности, написанного кода
4. Подготовить материалы для защиты проекта
5. Провести самооценку деятельности

Актуальность

В современных научных и инженерных задачах моделирование сложных физических процессов становится всё более востребованным инструментом. Одной из таких задач является моделирование течения газа, где традиционные методы требуют значительных вычислительных ресурсов и часто оказываются непрактичными для задач большого масштаба или с высокой степенью детализации. В этом контексте решеточные методы (LGA и LBE) приобретают особую актуальность, так как позволяют упростить вычисления, сохраняя при этом физическую достоверность моделируемых процессов [@1].

Наш проект был посвящён построению и анализу модели на основе решёточного уравнения Больцмана (модель HPP). Работа над проектом велась в составе команды №4 (Абакумова Олеся, Астраханцева Анастасия, Ганина Таисия, Ибатулина Дарья). Проект был разбит на три этапа, каждый из которых имел свои задачи и результаты. В данном отчёте подробно рассмотрим четвертый этап – коллективное обсуждение итогов и самооценку нашей деятельности.

Основная часть

Итоги трёх этапов проекта

Этап 1. Теоретическое обоснование и формулировка задачи

На этом этапе мы:

1. Изучили основные принципы решеточных моделей газа (LGA) и решеточного уравнения Больцмана (LBE).

2. Ознакомились с базовыми моделями: HPP, FHP-I, FHP-III, а также с расширенной моделью с 9 направлениями скорости.

3. Проанализировали физические свойства этих моделей: симметрию, анизотропию, возможность сохранения импульса и энергии, введение температуры.

4. Изучили область применимости этих моделей — от моделирования жидкостей до фазовых переходов и химических взаимодействий.

Этот этап дал нам прочную теоретическую основу для дальнейших шагов, позволив критически осмыслить достоинства и ограничения моделей, и выбрать для реализации наиболее подходящую — модель HPP.

Этап 2. Изучение алгоритмов и структур данных

На втором этапе:

1. Мы подробно проанализировали алгоритмы распространения и столкновения частиц в решеточных моделях.

2. Были рассмотрены способы кодирования состояний узлов с помощью битовых операций, что обеспечило компактность и быстродействие реализации.

3. Сравнили особенности моделей HPP, FHP-I, FHP-III и LBM, включая их алгоритмическую сложность, вычислительные затраты, физическую реалистичность.

4. Сделали обоснованный выбор в пользу модели HPP, как стартовой точки: она проще в реализации, но при этом позволяет продемонстрировать ключевые принципы решеточного моделирования.

Этап 3. Реализация модели и проведение численных экспериментов

На завершающем техническом этапе:

1. Мы реализовали модель HPP на языке Julia, выбрав его за высокую производительность, лаконичность и удобство для научных вычислений.

В коде предусмотрены функции для:

• создания решетки и добавления частиц;

• применения периодических граничных условий;

• реализации правил столкновений (лобовых и угловых);

• визуализации состояния системы;

• расчета макроскопических параметров (число частиц, импульс);

• автоматического запуска тестов и создания анимаций.

2. Было реализовано три тестовых сценария, проверяющих:

• корректность перемещения одной частицы;

• корректность лобового столкновения;

• поведение при угловом столкновении четырёх частиц.

• Созданы анимации (GIF), наглядно демонстрирующие ход моделирования, а также сохранение физических величин во времени [@2].

Коллективная работа над проектом

Распределение ролей и организация взаимодействия

С самого начала работы над проектом мы договорились о чётком распределении ролей:

• Теоретический анализ (описание модели, её математических основ, анализ преимуществ и недостатков) - все участники, с последующим обсуждением на общем собрании.
• Программная реализация - основная ответственность легла на участников с наиболее сильными навыками программирования на Julia (но все члены команды участвовали в обсуждении архитектуры кода).
• Тестирование и визуализация - совместная работа: каждый предлагал тестовые сценарии, участвовал в анализе результатов и подготовке анимаций.
• Оформление отчёта и презентаций - по частям, с последующим коллективным редактированием. Регулярные встречи (очно и онлайн) позволяли быстро обмениваться идеями, выявлять ошибки и корректировать ход работы.

Коллективное обсуждение решений

Каждое важное решение принималось после обсуждения:

• Как лучше реализовать периодические граничные условия?
• Как структурировать код для удобства тестирования?
• Какие тесты наиболее полно проверяют корректность модели?
• Как визуализировать результаты, чтобы они были максимально наглядными? Обсуждение сопровождалось демонстрацией промежуточных результатов, разбором кода, анализом возникающих ошибок.

Программная реализация

Выбор языка и инструментов

Мы выбрали язык Julia за его высокую скорость, лаконичность и развитые средства для научных вычислений и визуализации. Для графиков использовалась библиотека Plots с бэкендом GR.

Архитектура кода

• Параметры модели (размеры решётки, направления движения частиц, цвета для визуализации) задаются в начале, что облегчает настройку и масштабирование модели.
• Создание сетки: реализована функция для создания булевой 3D-матрицы, где третье измерение отвечает за направления движения частиц.
• Добавление частиц: отдельная функция с проверкой корректности координат и направления.
• Периодические граничные условия: реализованы через фиктивные узлы по краям решётки и копирование значений с противоположных физических границ.
• Обработка столкновений: реализована по строгим правилам HPP, с учётом только физически осмысленных столкновений (лобовых и под прямым углом).
• Распространение частиц: реализовано через создание новой сетки и перенос частиц согласно их направлениям.
• Подсчёт числа частиц и импульса: отдельные функции для контроля сохранения физических величин.
• Визуализация: функция для отрисовки состояния решётки с цветными стрелками, показывающими направления движения частиц.
• Тесты: три ключевых сценария - одиночная частица, лобовое столкновение, столкновение под прямым углом. Для каждого теста создаётся анимация (GIF) [@3].

Объяснение выбора архитектуры

• Периодические граничные условия выбраны для проверки корректности распространения частиц: частица, вышедшая за одну границу, должна появляться с противоположной стороны, что важно для моделирования “бесконечных” сред.
• Разделение на функции повышает читаемость и удобство тестирования.
• Визуализация позволяет не только проверить корректность работы кода, но и наглядно продемонстрировать физический смысл происходящих процессов [@2].

Анализ результатов: что получилось и почему

Корректность работы модели

• Тест 1 (одна частица): частица движется по прямой, корректно “переходит” через границы, возвращаясь с противоположной стороны. Число частиц и импульс сохраняются.
• Тест 2 (лобовое столкновение): две частицы встречаются, после столкновения меняют направления строго по правилам HPP. Сохраняются число частиц и импульс.
• Тест 3 (столкновение под прямым углом): четыре частицы встречаются в одной точке, после столкновения разлетаются в новые направления. Все законы сохранения выполняются [@1].

Визуализация

Для каждого теста были созданы анимации, позволяющие шаг за шагом наблюдать за эволюцией системы. Это позволило:

1. Убедиться в правильности работы алгоритма.

2. Наглядно продемонстрировать физические процессы (распространение, столкновения, сохранение числа частиц и импульса).

Достижения и ограничения

• Достижения: реализована полностью работоспособная модель HPP, все физические законы выполняются, тесты проходят успешно, визуализация информативна.

• Ограничения: модель HPP обладает известными недостатками (анизотропия, нефизичное поведение на макроуровне), о чём мы честно говорим в отчёте. Для более точного моделирования реальных жидкостей и газов требуются более сложные модели (например, FHP).

Качество работы кода: подробный разбор

1. Структурированность, читаемость и модульность

Код организован в виде отдельных функций, каждая из которых отвечает за свою задачу:

• создание сетки (create_grid),
• добавление частицы (add_particle!),
• применение граничных условий (apply_periodic_boundaries!),
• обработка столкновений (collide!),
• распространение частиц (propagate!),
• подсчёт числа частиц (count_particles),
• вычисление импульса (calculate_momentum),
• визуализация (plot_grid),
• запуск тестов (run_all_tests).

Преимущества такого подхода:

• Код легко читать и поддерживать.
• Каждая функция имеет чётко определённую ответственность.
• Можно быстро находить и исправлять ошибки, а также расширять функционал.

2. Корректность реализации физических принципов

2.1. Периодические граничные условия

• Реализованы через фиктивные узлы по краям сетки и копирование значений с противоположных физических границ.
• Проверка на одной частице (Тест 1) показывает: частица, выходя за одну границу, корректно появляется с противоположной стороны.
• Это подтверждает правильную реализацию периодичности, что критически важно для моделирования “бесконечной” среды.

2.2. Столкновения частиц

• В функции collide! реализованы два типа столкновений: лобовое (две частицы навстречу) и под прямым углом (четыре частицы).
• Логика соответствует теории HPP: направления меняются строго по правилам, обеспечивается сохранение числа частиц и импульса.
• Тесты 2 и 3 (лобовое и угловое столкновения) показывают: после столкновения частицы разлетаются в правильных направлениях.

2.3. Сохранение числа частиц и импульса

• На каждом шаге моделирования в тестах вычисляются и выводятся общее число частиц и суммарный импульс.
• В анимациях и текстовых аннотациях видно, что эти величины сохраняются, что говорит о физической корректности кода.

3. Гибкость и расширяемость

• Размер сетки, направления движения, цвета для визуализации задаются в начале через константы, что позволяет легко менять параметры модели.
• Код легко масштабируется: можно увеличивать размеры сетки, добавлять новые сценарии тестирования, менять правила столкновений.

4. Визуализация и наглядность

• Для каждого теста создаются анимации (GIF), где визуально отображается движение и столкновения частиц, а также аннотируются число частиц и импульс.
• Использование разных цветов для направлений делает анимации понятными даже без глубокого погружения в код.
• Визуализация помогает не только анализировать корректность, но и презентовать результаты на защите.

5. Тестируемость и автоматизация проверки

В коде реализованы отдельные функции для трёх ключевых тестов:

• одна частица (проверка распространения и граничных условий),
• две частицы (лобовое столкновение),
• четыре частицы (столкновение под прямым углом).

Функция run_all_tests позволяет запускать все тесты последовательно, что удобно для автоматической проверки и демонстрации.

6. Обработка ошибок и валидация данных

• Используются @assert для проверки корректности координат частиц и направлений при добавлении в сетку.
• Это предотвращает появление некорректных состояний и облегчает отладку.

7. Документированность

• В отчёте приведены подробные комментарии к каждой функции, объясняющие смысл и работу каждого блока кода.
• Описаны все используемые параметры и логика работы алгоритма.

8. Ограничения и честная самооценка

• В отчёте честно указаны ограничения самой модели HPP (анизотропия, нефизичность на макроуровне), а не только кода.
• Это говорит о критическом отношении к результату и понимании границ применимости [@3].

Коллективное обсуждение итогов и самооценка деятельности

Обсуждение трудностей и путей их решения

• Сложности с граничными условиями: на этапе реализации периодических границ возникли ошибки, которые были обнаружены при коллективном просмотре анимаций и исправлены после обсуждения.
• Проверка корректности столкновений: не сразу удалось реализовать все случаи столкновений, потребовалось несколько итераций и обсуждений.
• Временные ограничения: благодаря командной работе и чёткому плану удалось уложиться в сроки.

Индивидуальный и командный вклад

• Каждый участник внёс вклад в теорию, программирование, тестирование и оформление отчёта.
• Совместная работа позволила каждому освоить новые навыки: кто-то углубился в программирование на Julia, кто-то - в физику решеточных моделей, кто-то - в визуализацию данных.
• В процессе обсуждений и совместного поиска решений повысился уровень взаимопонимания и доверия в команде.

Самооценка

• Цели этапа полностью достигнуты: реализована модель, проведено тестирование, оформлен подробный отчёт.
• Качество реализации: код структурирован, документирован, легко расширяется для новых задач.
• Командная работа: эффективное распределение задач, взаимопомощь, своевременное решение проблем.
• Личные достижения: каждый участник повысил свою квалификацию в области научного моделирования и командной работы.

Выводы и рекомендации

Работа над проектом позволила нам:

• Освоить современные методы моделирования физических процессов.
• Получить опыт командной работы, научиться планировать и реализовывать сложные проекты.
• Научиться анализировать и визуализировать результаты моделирования.
• Критически оценивать свои достижения и ограничения [@4].

Наш проект продемонстрировал, что даже относительно простые решеточные модели позволяют точно и эффективно описывать поведение газов на микроскопическом уровне. Мы прошли путь от теории к практике, реализовав рабочую систему и подтвердив её корректность с помощью численных экспериментов.

Возможное продолжение работы:

• Модернизация модели: переход от HPP к FHP-III, чтобы устранить анизотропию и повысить физическую достоверность.

• Добавление термодинамики: переход к модели с 9 направлениями и введение температуры.

• Моделирование фазовых переходов: добавление сил взаимодействия между частицами.

• Переход к LBE: для описания вязких течений и сложных граничных условий.

• Параллелизация: реализация на GPU с помощью CUDA.jl для повышения производительности [@4].

Заключительная часть

Заключение

Проект был реализован на высоком уровне благодаря слаженной работе команды, глубокому анализу теории и тщательному тестированию программной реализации. Каждый участник внёс значимый вклад, а коллективное обсуждение позволило не только добиться отличного результата, но и получить ценный опыт научного сотрудничества.

Список литературы

1. Медведев Д.А. и др. Моделирование физических процессов и явлений на ПК: Учеб. пособие. // Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2010. 101 с.

2. Куперштох А. Л. Моделирование течений с границами раздела жидкость-пар методом решеточных уравнениях Больцмана // Вестник НГУ. Сер. Математика, механика и информатика. 2005. Т. 5, № 3. с. 29–42.

3. Chen S., Lee M., Zhao K. H., Doolen G. D. A lattice gas model with temperature // Physica D. 1989. V. 37. p. 42–59.

4. Чащин Г.С. Метод решёточных уравнений Больцмана: моделирование изотермических низкоскоростных течений // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2021. № 99. 31 с..

5. Frisch, Uriel, Brosl Hasslacher, and Yves Pomeau. “Lattice Gas Automata for the Navier-Stokes Equation.” Phys. Rev. Lett. 56, no. 14 (1986): 1505-1508.

6. Succi, Sauro. The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond. Oxford University Press, 2001.